前缀、中缀、后缀表达式

概念

(3 + 4) × 5 - 6  > 中缀表达式
- × + 3 4 5 6    > 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 -    > 后缀表达式

1. 前缀表达式（前缀记法、波兰式）

计算机求值

例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”

1. 从右至左扫描，将 6、5、4、3 压入堆栈；
2. 遇到+运算符，因此弹出 3 和 4（ 3 为栈顶元素，4 为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出 3 + 4 的值，得 7 ，再将 7 入栈；
3. 接下来是 × 运算符，因此弹出7和5，计算出 7 × 5 = 35，将 35 入栈；
4. 最后是-运算符，计算出 35 - 6 的值，即 29，由此得出最终结果

将中缀表达式转换为前缀表达式

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从右至左扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入S2；
4. 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
   (4-1) 如果 S1 为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
   (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入 S1；
   (4-3) 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次转到(4-1)与 S1 中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时：
   (5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入 S1；
   (5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
7. 将 S1 中剩余的运算符依次弹出并压入 S2；
8. 依次弹出 S2 中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

eg. 1+((2+3)×4)-5

2. 后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）

计算机求值

例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”

1. 从左至右扫描，将 3 和 4 压入堆栈；
2. 遇到+运算符，因此弹出 4 和 3（ 4 为栈顶元素，3 为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出 3 + 4 的值，得 7，再将 7 入栈；
3. 将5入栈；
4. 接下来是×运算符，因此弹出 5 和 7，计算出 7 × 5 = 35，将 35 入栈；
5. 将 6 入栈；
6. 最后是-运算符，计算出 35 - 6 的值，即 29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从左至右扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入 S2；
4. 遇到运算符时，比较其与 S1 栈顶运算符的优先级：
   (4-1) 如果 S1 为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
   (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入 S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
   (4-3) 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次转到(4-1)与 S1 中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时：
   (5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入 S1；
   (5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入 S2；
8. 依次弹出 S2 中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

eg. 1+((2+3)×4)-5